리만가설: 리만제타함수의 비자명근의 실수부는 1/2이다.

Q.1 제타함수는 무엇인가?

A.1 다음을 가정해보자.

1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ...

이 무한급수의 항들은 자연수의 역수를 취한 뒤 s승을 취한 꼴이다. 이것을 모두 더하면 얼마일까? 물론 s의 값에 따라 다르겠다. s의 값에 따라 달라지므로, 이는 s에 대한 함수라고 인식할 수 있다. 이 함수를 제타함수라고 부르고 ζ（s）라 표기한다.

위의 무한급수에 s = 1을 대입하면, 즉 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... 을 계산하면 이는 무한으로 발산한다. 제타함수는 s = 1에서 정의되어있지 않다.
하지만 s가 1보다 큰 값에서는 발산하지 않는다. 대표적인 예로 s = 2이면, π^2/6이라는 값이 나온다.

그렇다면 ζ（s）는 s > 1에서만 정의할 수 있을까? 그렇지 않다. 상상하기 어렵지만 s가 복소수여도 위의 값들을 정의할 수 있다.

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Q.1.1 복소수란 무엇인가?

A.1.1 복소수란 실수와 허수의 조합으로 이루어진 수를 말한다. 실수는 우리에게 익숙한 모든 수들이다. 자연수, 정수, 유리수, 무리수를 모두 지칭하는 말이다. 실수는 서로 크기 비교가 가능해, 하나의 직선에 모두 담을 수 있다. 이렇게 수의 크기에 따라 나열한 직선을 수직선（number line, real line）이라 부른다.

허수는 i로 표기하며, 제곱하면 -1이 되는 수를 말한다.

허수는 비교가 불가능하다. 1은 2보다 작지만, i는 2i보다 작다거나 크다고 말할 수 없다. 그러므로 허수들을 수직선에 포함시킬 수 없다. 그래서 실수와 허수를 모두 표기하기 위해서는 1차원 직선이 아닌 2차원 평면이 필요하다. 이를 복소평면（complex plane）이라고 부른다.

복소수는 일반적으로 실수와 허수의 합으로 표현이 가능하다. 예컨대 3+4i라는 복소수는 실수 3과 허수 4i의 합이다. 이 때 3을 실수부, 4를 허수부라고 표현한다.
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다시 원래 질문으로 돌아와, ζ（s）의 정의역（대입할 수 있는 s의 값들）을 복소수로 확장할 수 있다.

먼저 ζ（s）의 기존 정의인 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s를 이용해, 실수부가 1보다 큰 모든 복소수에서 ζ（s）를 정의할 수 있다.

하지만 ζ（s）의 정의역은 그보다 더 확장될 수 있다. 여기서 해석적 연속이라는 개념이 필요하다.

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Q.1.2 해석적 연속이란 무엇인가?

A.1.2 먼저 해석성이란, 간단하게 말해 복소미분가능성이다. 일반적으로 함수를 그래프로 그렸을 때 모난데가 없고 매끄럽다면 미분이 가능하다.

복소미분이란, 미분이라는 개념을 복소평면으로 확장한 것이다. 일반적으로 복소미분의 조건은 미분의 조건보다 더 까다롭다. （자세한 설명은 생략）

복소미분이라는 조건은 굉장히 까다롭기 때문에, 덕분에 재미있는 성질이 많이 발생한다. 예컨대 두 복소미분가능한 함수가 아주 작은 영역에서 정확히 같은 값을 가진다면, 두 함수는 같은 함수여야 한다.

이러한 개념을 응용해, 복소평면에서 일부에서만 정의된 함수를, 복소미분가능성을 유지한 채 그 정의역을 확장시킬 수 있다. 이를 해석적 연속이라고 부른다.
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앞서 ζ（s）는 원래는 s의 실수부가 1보다 큰 영역에서만 정의되었지만, 해석성을 이용해 정의역을 확장시킬 수 있다. 그렇게 가장 크게 확장시킨 ζ（s）의 정의역은 1을 제외한 모든 복소수이다.

하지만 해석적 연속을 거치면, ζ（s）의 원래 정의가 맞아떨어지지 않는 경우도 존재한다. 예컨대 ζ（-1） = -1/12이다. 반면 -1을 ζ（s）의 원래의 정의에 대입하면
1/1^（-1） + 1/2^（-1） + 1/3^（-1） + ... = 1 + 2 + 3 + ... = 무한이 나온다. 그렇다면 무한은 -1/12과 같다는 뜻일까?

이러한 해석은 틀렸다. ζ（s）를 자연수의 s승 역수의 무한급수라고 정의할 수 있는 것은 s의 실수부가 1보다 큰 복소수에서만 가능하다. -1의 실수부는 -1이며, 이는 1보다 작다. 즉 ζ（-1）과 1 + 2 + 3 + ... 은 전혀 다른 개념이다.

이렇게 제타함수의 정의역을 최대한 확장시킨 것을 리만제타함수라 부른다. （일반적으로 제타함수라고 부르기도 한다. 무한급수꼴로 표기한 제타함수를 리만제타함수와 구분하기 위해 오일러제타함수라고 부르는 사람도 종종 있다.）

그렇다면 리만제타함수는 언제 0이 될까? 가장 먼저 자명한 근이 있는데, 이들은 음의 짝수들, 즉 -2, -4, -6, ...이다.

리만제타함수가 음의 짝수들에서 0이 되는 이유는 조금 설명하기 복잡하다. 간단하게 말해, 리만제타함수에 해석적 연속을 취하면, s의 실수부가 0보다 작을 때의 ζ（s）의 값을 ζ（1-s）이 포함된 공식의 꼴로 표현이 가능하다.（이를 functional equation, 함수등식이라 부른다.） 이 때 사인함수가 개입하는데, 사인함수는 주기적으로 0이 된다. 해당 주기를 계산하면, -2, -4, -6, ...에서 리만제타함수가 0이 되어야 한다는 사실이 쉽게 증명될 수 있다. 즉 공식에 따라, 리만제타함수의 값이 당연히 0이 되어야 하는 지점들을 '자명근'이라고 부른다.

그 외에도 리만제타함수가 0이 되는 지점들이 있다. 이들을 비자명근이라고 부른다. 리만은 복잡한 계산 끝에 3개의 비자명근을 찾았는데, 놀랍게도 모두 실수부가 1/2이었다. 해당 사실을 기반으로 리만은 다음과 같은 추측을 남겼다.

리만제타함수의 모든 비자명근의 실수부가 1/2이 아닐까?

해당 추측은 1859년 리만의 정수론 논문인 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여'에서 제시되었으며, 163년이 지난 오늘날까지 여전히 풀리지 않았다. 현재는 컴퓨터를 이용해 수조개의 비자명근을 찾았지만, 그들 모두 실수부가 1/2이었다. （참고로 리만제타함수의 비자명근이 무한히 많다는 사실이 이미 증명되었기 때문에, 컴퓨터를 이용해서 모든 비자명근의 실수부가 1/2인지 확인할 수는 없다.）

끗