2025-05-21 16:57:58
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찹쌀이o
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정수 격자점 （x, y, z） ∈ [-N, N]^3 （단, N은 양의 정수） 위에서 정의된 함수 f: Z^3 → Z 에 대해 다음 조건을 고려한다.
f는 다음 형태의 2차 다항식이다:
f（x, y, z） = A x^2 + B y^2 + C z^2 + D x y + E y z + F z x + G x + H y + I z + J
단, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J ∈ Z 이고, 모든 계수의 절댓값은 M 이하이다. （즉, |A|, |B|, ..., |J| ≤ M）
f는 영역 내의 모든 정수 점에서 서로 다른 값을 갖는다. 즉,
for all （x1, y1, z1）, （x2, y2, z2） ∈ [-N, N]^3, （x1, y1, z1） ≠ （x2, y2, z2） implies f（x1, y1, z1） ≠ f（x2, y2, z2）
이차형식 행렬
Q = [[A, D/2, F/2],
D/2, B, E/2],
F/2, E/2, C]]
는 양의 정부호이다.
N과 M은 주어진 상수이다.
문제:
주어진 N과 M에 대해 위 조건을 만족하는 함수 f의 가능한 계수 조합의 개수를 구하라.
또한, f가 위 조건을 만족할 때,
영역 내 정수점에서의 함수값 분포가 최소가 되는 경우 f의 형태를 구하라.
（단, 문제를 풀기 위해 이차형식, 양의 정부호, 격자점 중복 여부 판단, 정수 다항식의 차별성 등을 모두 이용해야 한다.）
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