공리（Axiom）

수학이라는 게임을 진행하기 위한 규칙. 체스로 치면 '룩은 앞뒤 좌우로만 움직인다' '비숍은 대각선으로만 움직인다' 등.

일반적으로 공리는 증명하지 않아. 도대체 공리들은 왜 증명할 수 없냐고 반박할 수 있는데, 쉬운 예제를 갖고오면

우리가 일반적으로 아는 기하학 （유클리드 기하학）의 공리는 다음과 같거든.

1. 두 점이 있으면 두 점을 잇는 선분을 그릴 수 있다.

2. 선분은 늘려서 직선을 만들 수 있다.

3. 어느 점을 중심으로 삼고 주어진 길이를 반지름으로 삼는 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5번은 복잡하니 생략.

기본적으로 기하학이라는 게임을 하기 위해 필요한 최소한의 룰이고, 대개 공리를 부정하면 마땅히 수학적으로 의미있는 결론에 도달하기가 참 어려워져. '아냐 두 점을 잇는 선분은 없어'라고 하면 기하학을 어케 하라고.

물론 예외도 있지. 5번 공리를 부정하자 비유클리드 기하학이 나와. 이건 귀찮으니 패스

이렇게 '어떠한 수학적 게임을 위한 공리 세트'를 공리계라고 해.

이론（Theory）

​과학에서 역학이론, 전자기학이론, 초끈이론 하는 것 처럼, 수학에서도 큰 분파들을 말함. 대개 각 이론에는 각 공리가 있어. 수학은 이론이 되게 많은데 몇개 열거하면 

집합론, 위상수학, 해석적 수론, 대수적 수론, 고전기하학, 대수기하학, 해석기하학, 실해석, 복소해석, 함수해석, 선형대수, 추상대수, 가환대수, 비가환대수, 카오스 이론, 계산 이론, 이산수학등 어마무시하게 많아.

정리（Theorem）

​공리계를 기반으로 논리적으로 증명하여 얻어낸 결과. 자매품으로는 소정리（lemma）와 기본정리（fundamental theorem）등이 있는데 모두 공리를 기반으로 했거나, 증명된 다른 것들을 기반으로 해서 얻어낸 결과야. 대개 수학자들은 어떤 논문에서 '어떤 문제'를 해결하고 정리로 만들고 싶어하는데, 그 문제를 해결하기 위해 필요한 다른 스텝들을 소정리라고 하지. 기본정리는 반면 해당 이론에서 얻어진 가장 귀중한 결과임. 뭐 귀중하다는 말은 수학적이지 않다면 할 말 없지만, 그래도 그 분야의 정수를 담고 있는 정리라고 해야할까. 

예컨대 산술의 기본 정리는 무려 고대 그리스때 밝혀진 '1을 제외한 모든 자연수는 소인수분해가 가능하고, 그 방법은 유일하다.' 

뉴턴-라이프니츠 시대에 밝혀진 미적분의 기본정리는 '어떤 함수를 적분한 다음 미분하면 다시 그 함수를 얻게 된다.' 지금 미적분을 공부하는 사람들에겐 너무 당연한 소리겠지만, 함수의 기울기를 구하는 것과 그래프의 넓이를 구하는 것이 이렇게 긴밀한 상관관계를 가질 줄 누가 알았겠어. 그래서 기본정리로 불려. 

대개 유명한 정리들은 그 정리를 증명한 사람들의 이름을 붙여, 피타고라스의 정리 처럼.

예외가 하나 있다면 페르마의 마지막 정리. 페르마가 증명을 발견했다고 주장했지만, 많은 수학자들은 그 때 당시의 수학으로 그 정리의 증명을 찾긴 어려웠을 것, 그가 생각한 증명은 틀렸을 가능성이 높다고 봐. 일부 수학자들은 절대로 페르마의 마지막 정리라는 표현을 안 써. 페르마의 추측이라고 하지. 여기서 '마지막'인 이유는, 수학 끝판왕 오일러가 페르마의 모든 일들을 검토하면서 증명이 빈약하거나 없는 것들은 직접 증명하고, 틀린 것들은 반례를 찾았는데 끝까지 증명하지 못한게 이 문제여서 '마지막 정리'라고 그가 이름을 붙였어. 그게 유명해진 것.

추측（Conjecture）

​수학에서 '그러지 않을까?'하고 낸 의문. 대개 추측을 제기한 사람의 이름을 따고, 증명이 되면 증명자의 이름을 따서 정리로 불려. 물론 유명한 추측들은 증명된 이후에도 여전히 추측으로 불리기도 하지만, 그건 증명한 사람들에게 예의는 아니라고 봐. 예컨대 푸앵카레 추측은 페렐만의 정리로 불려야 맞고, 타니야마-시무라-베유 추측（이는 페르마의 마지막 정리와 동치）은 와일즈의 정리라고 부르는 게 맞지.

가설（Hypothesis）

수학에서 자주 나오는 것은 아니지만 가끔씩 가설이 있어. 즉 '이 추측의 결과가 참이라고 가정하면 이러한 결과가 얻어진다' 할 때 해당 추측을 가설이라고 종종 불러. 리만 가설도 대표적으로 그런 케이스야. 물론 리만 가설이 제기된 논문에 '이 의문은 참일거 같고, 어떤 문제를 푸는데 도움이 되겠지만 지금 내가 이끌어가는 방향과는 달라서 풀어보진 않겠다.'로 표기해. 그래서 가설이라고 불리는 듯.

문제（Problem）

​대개 참이냐 거짓이냐를 다루는 추측이 아닌 경우는 문제라고 불리는 경우가 많아. 이 값은 무엇이 되냐, 최소 경로는 무엇이냐, 어떤 것을 찾는 가장 빠른 알고리즘은 뭐냐 등.  

뭐 그냥 생각나서 적어봄